微积分学示例

$\int \frac{4 x^{3}}{2 x + 3} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 2 x + 3$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 2 x + 3$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{3}}{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{3}}{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 3

使 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ ，以便 $2 d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $\frac{u_{1}}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$

解题步骤 3.1.3.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$

解题步骤 3.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1.4.1

因为 $- \frac{3}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- \frac{3}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} + 0$

解题步骤 3.1.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 3.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$2 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} (1 \cdot 2) d u_{2}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} \cdot 2 d u_{2}$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3}$ 和 $2$ 。

$2 \int \frac{{u_{2}}^{3} \cdot 2}{2 u_{2} + 3} d u_{2}$

解题步骤 4.4

将 $2$ 移到 ${u_{2}}^{3}$ 的左侧。

$2 \int \frac{2 {u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} d u_{2}$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 (2 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} d u_{2})$

解题步骤 6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} d u_{2}$

解题步骤 7

用 ${u_{2}}^{3}$ 除以 $2 u_{2} + 3$ 。

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解题步骤 7.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 u_{2}$

$3$

${u_{2}}^{3}$

$0 {u_{2}}^{2}$

$0 u_{2}$

$0$

解题步骤 7.2

将被除数中的最高阶项 ${u_{2}}^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 u_{2}$ 。

					$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
	$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$

解题步骤 7.3

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			+	${u_{2}}^{3}$	+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 7.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $u^{3} + \frac{3 u^{2}}{2}$ 中的所有符号

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 7.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 7.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$

解题步骤 7.7

将被除数中的最高阶项 $- \frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 u_{2}$ 。

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$

解题步骤 7.8

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{9 u_{2}}{4}$

解题步骤 7.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- \frac{3 u^{2}}{2} - \frac{9 u}{4}$ 中的所有符号

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$

解题步骤 7.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$

解题步骤 7.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$

解题步骤 7.12

将被除数中的最高阶项 $\frac{9 u_{2}}{4}$ 除以除数中的最高阶项 $2 u_{2}$ 。

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$

解题步骤 7.13

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$\frac{27}{8}$

解题步骤 7.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $\frac{9 u_{2}}{4} + \frac{27}{8}$ 中的所有符号

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$
							-	$\frac{9 u_{2}}{4}$	-	$\frac{27}{8}$

解题步骤 7.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$
							-	$\frac{9 u_{2}}{4}$	-	$\frac{27}{8}$
									-	$\frac{27}{8}$

解题步骤 7.16

最终答案为商加上余数除以除数。

$4 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2} - \frac{3 u_{2}}{4} + \frac{9}{8} - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2}$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$4 (\int \frac{{u_{2}}^{2}}{2} d u_{2} + \int - \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

解题步骤 10

根据幂法则， ${u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int - \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${u_{2}}^{3}$ 。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \int - \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \int \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

解题步骤 13

由于 $\frac{3}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{3}{4}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - (\frac{3}{4} \int u_{2} d u_{2}) + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

解题步骤 14

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

解题步骤 15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{2}}^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

解题步骤 16

应用常数不变法则。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9}{8} u_{2} + C + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

解题步骤 17

组合 $\frac{9}{8}$ 和 $u_{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

解题步骤 18

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \int \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

解题步骤 19

由于 $\frac{27}{8}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{27}{8}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - (\frac{27}{8} \int \frac{1}{2 u_{2} + 3} d u_{2}))$

解题步骤 20

使 $u_{3} = 2 u_{2} + 3$ 。然后使 $d u_{3} = 2 d u_{2}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 20.1

设 $u_{3} = 2 u_{2} + 3$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 20.1.1

对 $2 u_{2} + 3$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 3]$

解题步骤 20.1.2

根据加法法则， $2 u_{2} + 3$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [3]$ 。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [3]$

解题步骤 20.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ 。

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解题步骤 20.1.3.1

因为 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $2 u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [3]$

解题步骤 20.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [3]$

解题步骤 20.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [3]$

解题步骤 20.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 20.1.4.1

因为 $3$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $3$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 20.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 20.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 21

化简。

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解题步骤 21.1

将 $\frac{1}{u_{3}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3})$

解题步骤 21.2

将 $2$ 移到 $u_{3}$ 的左侧。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 22

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{8} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

解题步骤 23

化简。

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解题步骤 23.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{27}{8}$ 。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{2 \cdot 8} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 23.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{16} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 24

$\frac{1}{u_{3}}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\ln (| u_{3} |)$ 。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{16} (\ln (| u_{3} |) + C))$

解题步骤 25

化简。

$4 (\frac{{u_{2}}^{3}}{6} - \frac{3 {u_{2}}^{2}}{8} + \frac{9 u_{2}}{8} - \frac{27 \ln (| u_{3} |)}{16}) + C$

解题步骤 26

重新排序项。

$4 (\frac{1}{6} {u_{2}}^{3} - \frac{3}{8} {u_{2}}^{2} + \frac{9}{8} u_{2} - \frac{27}{16} \ln (| u_{3} |)) + C$

解题步骤 27

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 27.1

使用 $\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| u_{3} |)) + C$

解题步骤 27.2

使用 $2 u_{2} + 3$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 u_{2} + 3 |)) + C$

解题步骤 27.3

使用 $2 x + 3$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 u_{2} + 3 |)) + C$

解题步骤 27.4

使用 $\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

解题步骤 27.5

使用 $2 x + 3$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

解题步骤 28

化简。

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解题步骤 28.1

在公分母上合并分子。

解题步骤 28.2

合并 $2 x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 28.2.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

解题步骤 28.2.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

解题步骤 28.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 28.3.1

约去公因数。

解题步骤 28.3.2

重写表达式。

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4

化简每一项。

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解题步骤 28.4.1

在公分母上合并分子。

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x + 3 - 3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.2

合并 $2 x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 28.4.2.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x + 0}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.2.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 28.4.3.1

约去公因数。

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$4 (\frac{1}{6} x^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.4

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{3}$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.5

在公分母上合并分子。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3 - 3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.6

合并 $2 x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 28.4.6.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 0}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.6.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 28.4.7.1

约去公因数。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.7.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} x^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.8

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{3}{8}$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2} \cdot 3}{8} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.9

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 \cdot x^{2}}{8} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.10

在公分母上合并分子。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{8} \cdot \frac{2 x + 3 - 3}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.11

合并 $2 x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 28.4.11.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{8} \cdot \frac{2 x + 0}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.11.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{8} \cdot \frac{2 x}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 28.4.12.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{2 (4)} \cdot \frac{2 x}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.12.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{2 (4)} \cdot \frac{2 (x)}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.12.3

约去公因数。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 x}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.12.4

重写表达式。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{4} \cdot \frac{x}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.13

将 $\frac{9}{4}$ 乘以 $\frac{x}{2}$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4 \cdot 2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.14

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

解题步骤 28.4.15

组合 $\ln (| 2 x + 3 |)$ 和 $\frac{27}{16}$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{\ln (| 2 x + 3 |) \cdot 27}{16}) + C$

解题步骤 28.4.16

将 $27$ 移到 $\ln (| 2 x + 3 |)$ 的左侧。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}) + C$

解题步骤 28.5

要将 $\frac{x^{3}}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3}}{6} \cdot \frac{8}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}) + C$

解题步骤 28.6

要将 $- \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3}}{6} \cdot \frac{8}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

解题步骤 28.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $48$ 的形式。

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解题步骤 28.7.1

将 $\frac{x^{3}}{6}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{6 \cdot 8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

解题步骤 28.7.2

将 $6$ 乘以 $8$ 。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

解题步骤 28.7.3

将 $\frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{16 \cdot 3}) + C$

解题步骤 28.7.4

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

解题步骤 28.8

在公分母上合并分子。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8 - 27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

解题步骤 28.9

化简分子。

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解题步骤 28.9.1

将 $8$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{8 \cdot x^{3} - 27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

解题步骤 28.9.2

将 $3$ 乘以 $- 27$ 。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48}) + C$

解题步骤 28.10

运用分配律。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8}) + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

解题步骤 28.11

化简。

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解题步骤 28.11.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 28.11.1.1

将 $- \frac{3 x^{2}}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$4 \frac{- 3 x^{2}}{8} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

解题步骤 28.11.1.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{- 3 x^{2}}{4 (2)} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

解题步骤 28.11.1.3

约去公因数。

$4 \frac{- 3 x^{2}}{4 \cdot 2} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

解题步骤 28.11.1.4

重写表达式。

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

解题步骤 28.11.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 28.11.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{4 (2)} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

解题步骤 28.11.2.2

约去公因数。

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{4 \cdot 2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

解题步骤 28.11.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

解题步骤 28.11.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 28.11.3.1

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{4 (12)} + C$

解题步骤 28.11.3.2

约去公因数。

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{4 \cdot 12} + C$

解题步骤 28.11.3.3

重写表达式。

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{12} + C$

解题步骤 28.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{12} + C$

解题步骤 29

重新排序项。

$- \frac{3}{2} x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{1}{12} (8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

微积分学 示例

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