微积分学示例

$\int \frac{1}{x^{3}} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} d x$

解题步骤 1

组合 $\frac{1}{x^{3}}$ 和 $\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ 。

$\int \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

解题步骤 2

使 $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{2}{x^{3}} d x$ ，以便 $- d u_{2} = \frac{- 2}{x^{3}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $1 - \frac{1}{x^{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $1 - \frac{1}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.1.3.6

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.3.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.1.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.1.3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.1.3.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$0 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.1.3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.1.3.10

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.1.3.11

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.1.3.12

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$0 + 2 x^{- 3} + 0$

解题步骤 2.1.3.13

将 $2 x^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$0 + 2 x^{- 3}$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.1.4.2

合并项。

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解题步骤 2.1.4.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$0 + \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 2.1.4.2.2

将 $0$ 和 $\frac{2}{x^{3}}$ 相加。

$\frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{2} \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{2}}$ 重写成 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 5

根据幂法则， ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ 重写为 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7

使用 $1 - \frac{1}{x^{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{3} {(1 - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{3}{2}} + C$

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