微积分学示例

$\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc (π A) \cot (π A) d A$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \csc (π A)$ 。然后使 $d u_{2} = - π \cot (π A) \csc (π A) d A$ ，以便 $- \frac{1}{π} d u_{2} = \cot (π A) \csc (π A) d A$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \csc (π A)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d A}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\csc (π A)$ 求导。

$\frac{d}{d A} [\csc (π A)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ 等于 $f' (g (A)) g' (A)$ ，其中 $f (A) = \csc (A)$ 且 $g (A) = π A$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $π A$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d A} [π A]$

解题步骤 1.1.2.2

$\csc (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 。

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d A} [π A]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $π A$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \csc (π A) \cot (π A) \frac{d}{d A} [π A]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $π$ 对于 $A$ 是常数，所以 $π A$ 对 $A$ 的导数是 $π \frac{d}{d A} [A]$ 。

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \frac{d}{d A} [A])$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ 等于 $n A^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$- \csc (π A) \cot (π A) π$

解题步骤 1.1.3.3.2

重新排序 $- \csc (π A) \cot (π A) π$ 的因式。

$- π \cot (π A) \csc (π A)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{2} = \csc (π A)$ 中的 $A$ 。

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.2

$\csc (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $2$ 。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{2} = \csc (π A)$ 中的 $A$ 。

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

组合 $π$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5.2

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{2}^{1} - \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

解题步骤 2

将两个负数相除得到一个正数。

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{π} d u_{2}$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{π} u_{2}]_{2}^{1}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

计算 $- \frac{1}{π} u_{2}$ 在 $1$ 处和在 $2$ 处的值。

$(- \frac{1}{π} \cdot 1) + \frac{1}{π} \cdot 2$

解题步骤 4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{π} + \frac{1}{π} \cdot 2$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{π}$ 和 $2$ 。

$- \frac{1}{π} + \frac{2}{π}$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + 2}{π}$

解题步骤 4.4.2

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{π}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{π}$

小数形式：

$0.31830988 \dots$

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