微积分学示例

$\int e^{4 \cot (x)} \cdot \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 \cot (x)$ 。然后使 $d u = - 4 \csc^{2} (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u = \csc^{2} (x) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 \cot (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 \cot (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 \cot (x)]$

解题步骤 1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

解题步骤 1.1.3

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$4 (- \csc^{2} (x))$

解题步骤 1.1.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \csc^{2} (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

解题步骤 2.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\int - \frac{e^{u}}{4} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{e^{u}}{4} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

解题步骤 6

化简。

$- \frac{1}{4} e^{u} + C$

解题步骤 7

使用 $4 \cot (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{4} e^{4 \cot (x)} + C$

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