微积分学示例

$\int \frac{{(e^{x} + 1)}^{2}}{e^{x}} d x$

解题步骤 1

使 $u = e^{x} + 1$ 。然后使 $d u = e^{x} d x$ ，以便 $- d u = - e^{x} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = e^{x} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $e^{x} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $e^{x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x} + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$e^{x}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{1} u^{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{1} u^{2} d u$

解题步骤 2.1.2

重写表达式。

$\int 1 u^{2} d u$

解题步骤 2.2

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{2} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 4

使用 $e^{x} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(e^{x} + 1)}^{3} + C$

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