微积分学示例

$\int x^{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 - x^{2}$ 。然后使 $d u = - 2 x d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int {\sqrt{- u + 1}}^{2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ 重写为 $- u + 1$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- u + 1}$ 重写成 ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

约去公因数。

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.4.2

重写表达式。

$\int {(- u + 1)}^{1} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.5

化简。

$\int (- u + 1) u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.2

将负号移到分数的前面。

$\int (- u + 1) u^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 2.3

组合 $u^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int (- u + 1) (- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int (- u + 1) (\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$- \int - u \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 4.2

组合 $- u$ 和 $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$- \int \frac{- u \cdot u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 4.3

提取负因数。

$- \int \frac{- (u \cdot u^{\frac{3}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 4.4

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \int \frac{- (u^{1} u^{\frac{3}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \int \frac{- u^{1 + \frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 4.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \int \frac{- u^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 4.7

在公分母上合并分子。

$- \int \frac{- u^{\frac{2 + 3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 4.8

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$- \int \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 4.9

将 $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \int \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 5

将负号移到分数的前面。

$- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- (- \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (- (\frac{1}{2} \int u^{\frac{5}{2}} d u) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{\frac{5}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ 。

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

解题步骤 10

组合 $\frac{2}{7}$ 和 $u^{\frac{7}{2}}$ 。

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 12

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $u^{\frac{5}{2}}$ 。

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

解题步骤 13.2

化简。

$- (- \frac{u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$- (- \frac{1}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 15

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (- \frac{1}{7} {(1 - x^{2})}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

微积分学 示例

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