微积分学示例

$\int \frac{9 x^{2}}{{(5 - 2 x^{3})}^{4}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 5 - 2 x^{3}$ 。然后使 $d u = - 6 x^{2} d x$ ，以便 $- \frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 5 - 2 x^{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $5 - 2 x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 - 2 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $5 - 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 - 2 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$0 - 6 x^{2}$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$- 6 x^{2}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{9}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 6} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{9}{u^{4}} (- \frac{1}{6}) d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{9}{u^{4}}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$\int - \frac{9}{u^{4} \cdot 6} d u$

解题步骤 2.3

将 $6$ 移到 $u^{4}$ 的左侧。

$\int - \frac{9}{6 \cdot u^{4}} d u$

解题步骤 2.4

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int - \frac{3 (3)}{6 u^{4}} d u$

解题步骤 2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $6 u^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int - \frac{3 (3)}{3 (2 u^{4})} d u$

解题步骤 2.4.2.2

约去公因数。

$\int - \frac{3 \cdot 3}{3 (2 u^{4})} d u$

解题步骤 2.4.2.3

重写表达式。

$\int - \frac{3}{2 u^{4}} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{3}{2 u^{4}} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $u^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{3}{2} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.2

将 ${(u^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3}{2} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{3}{2} \int u^{- 4} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- 4}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ 。

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ 重写为 $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ 。

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

解题步骤 7.2

将 $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ 重写为 $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$ 。

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $3$ 移到 $u^{3}$ 的左侧。

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

解题步骤 7.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{3}{2}) \frac{1}{3 u^{3}} + C$

解题步骤 7.3.3

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

解题步骤 7.3.4

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3 u^{3}}$ 。

$\frac{3}{2 (3 u^{3})} + C$

解题步骤 7.3.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{6 u^{3}} + C$

解题步骤 7.3.6

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.6.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (1)}{6 u^{3}} + C$

解题步骤 7.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.6.2.1

从 $6 u^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (1)}{3 (2 u^{3})} + C$

解题步骤 7.3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 1}{3 (2 u^{3})} + C$

解题步骤 7.3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2 u^{3}} + C$

解题步骤 8

使用 $5 - 2 x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2 {(5 - 2 x^{3})}^{3}} + C$

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