微积分学示例

$\int \frac{3^{2 x}}{1 + 3^{2 x}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{3^{u_{1}}}{(1 + 3^{u_{1}}) \cdot 2} d u_{1}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $1 + 3^{u_{1}}$ 的左侧。

$\int \frac{3^{u_{1}}}{2 (1 + 3^{u_{1}})} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ 。然后使 $d u_{2} = 3^{u_{1}} \ln (3) d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{\ln (3)} d u_{2} = 3^{u_{1}} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $1 + 3^{u_{1}}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + 3^{u_{1}}]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $1 + 3^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

解题步骤 4.1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$0 + 3^{u_{1}} \ln (3)$

解题步骤 4.1.4

将 $0$ 和 $3^{u_{1}} \ln (3)$ 相加。

$3^{u_{1}} \ln (3)$

解题步骤 4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (3)} d u_{2}$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (3)}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (3)} d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{\ln (3)}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{\ln (3)}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{\ln (3)}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\ln (3) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 移到 $\ln (3)$ 的左侧。

$\frac{1}{2 \ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 8

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{2 \ln (3)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 9

化简。

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 10

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 10.1

使用 $1 + 3^{u_{1}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{u_{1}} |) + C$

解题步骤 10.2

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{2 x} |) + C$

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