微积分学示例

$\int {(1 + 2 x)}^{4} \cdot 3 x d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\int 3 {(1 + 2 x)}^{4} x d x$

解题步骤 2.2

使用二项式定理。

$\int 3 (1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

解题步骤 2.3

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1

一的任意次幂都为一。

$\int 3 (1 + 4 \cdot 1^{3} (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

解题步骤 2.3.2

一的任意次幂都为一。

$\int 3 (1 + 4 \cdot 1 (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

解题步骤 2.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\int 3 (1 + 4 (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\int 3 (1 + 8 x + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

解题步骤 2.3.5

一的任意次幂都为一。

$\int 3 (1 + 8 x + 6 \cdot 1 {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

解题步骤 2.3.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\int 3 (1 + 8 x + 6 {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

解题步骤 2.3.7

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\int 3 (1 + 8 x + 6 (2^{2} x^{2}) + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

解题步骤 2.3.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int 3 (1 + 8 x + 6 (4 x^{2}) + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

解题步骤 2.3.9

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

解题步骤 2.3.10

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

解题步骤 2.3.11

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 (2^{3} x^{3}) + {(2 x)}^{4}) x d x$

解题步骤 2.3.12

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 (8 x^{3}) + {(2 x)}^{4}) x d x$

解题步骤 2.3.13

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

解题步骤 2.3.14

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + 2^{4} x^{4}) x d x$

解题步骤 2.3.15

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + 16 x^{4}) x d x$

解题步骤 2.4

运用分配律。

$\int (3 \cdot 1 + 3 (8 x) + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\int (3 + 3 (8 x) + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

解题步骤 2.5.2

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$\int (3 + 24 x + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

解题步骤 2.5.3

将 $24$ 乘以 $3$ 。

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

解题步骤 2.5.4

将 $32$ 乘以 $3$ 。

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 96 x^{3} + 3 (16 x^{4})) x d x$

解题步骤 2.5.5

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 96 x^{3} + 48 x^{4}) x d x$

解题步骤 2.6

运用分配律。

$\int 3 x + 24 x \cdot x + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1.1

移动 $x$ 。

$\int 3 x + 24 (x \cdot x) + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

解题步骤 2.7.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

解题步骤 2.7.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.2.1

移动 $x$ 。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 (x \cdot x^{2}) + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

解题步骤 2.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.7.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 (x^{1} x^{2}) + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

解题步骤 2.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{1 + 2} + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

解题步骤 2.7.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

解题步骤 2.7.3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.3.1

移动 $x$ 。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 (x \cdot x^{3}) + 48 x^{4} x d x$

解题步骤 2.7.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.7.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 (x^{1} x^{3}) + 48 x^{4} x d x$

解题步骤 2.7.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{1 + 3} + 48 x^{4} x d x$

解题步骤 2.7.3.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{4} x d x$

解题步骤 2.7.4

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.4.1

移动 $x$ 。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 (x \cdot x^{4}) d x$

解题步骤 2.7.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.7.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 (x^{1} x^{4}) d x$

解题步骤 2.7.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{1 + 4} d x$

解题步骤 2.7.4.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{5} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 x d x + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int x d x + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

解题步骤 6

由于 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $24$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 \int x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

解题步骤 8

由于 $72$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $72$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 \int x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

解题步骤 10

由于 $96$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $96$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 \int x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 48 x^{5} d x$

解题步骤 12

由于 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $48$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 48 \int x^{5} d x$

解题步骤 13

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 48 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

化简。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 48 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

解题步骤 14.2

化简。

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解题步骤 14.2.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{6}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 48 \frac{x^{6}}{6} + C$

解题步骤 14.2.2

组合 $48$ 和 $\frac{x^{6}}{6}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{48 x^{6}}{6} + C$

解题步骤 14.2.3

约去 $48$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.3.1

从 $48 x^{6}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6} + C$

解题步骤 14.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6 (1)} + C$

解题步骤 14.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6 \cdot 1} + C$

解题步骤 14.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{8 x^{6}}{1} + C$

解题步骤 14.2.3.2.4

用 $8 x^{6}$ 除以 $1$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 8 x^{6} + C$

解题步骤 14.3

重新排序项。

$\frac{3}{2} x^{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96}{5} x^{5} + 8 x^{6} + C$

微积分学 示例

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