微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc (x) d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

$\csc (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 。

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

计算 $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 在 $\frac{3 π}{4}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

$\csc (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\sqrt{2}$ 。

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)$

解题步骤 3.2.2

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)$

解题步骤 3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)$

解题步骤 3.2.4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余切在第二象限为负。

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - \cot (\frac{π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

解题步骤 3.3.2

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - (- 1 \cdot 1) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

解题步骤 3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

解题步骤 3.3.5

化简分子。

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解题步骤 3.3.5.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\ln (\frac{| \csc (\frac{π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

解题步骤 3.3.5.2

$\csc (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\sqrt{2}$ 。

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

解题步骤 3.3.5.3

$\sqrt{2} + 1$ 约为 $2.41421356$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| \sqrt{2} - 1 |})$

解题步骤 3.3.6

$\sqrt{2} - 1$ 约为 $0.41421356$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1})$

解题步骤 4.2

将 $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ 。

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)})$

解题步骤 4.3

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1})$

解题步骤 4.4

化简。

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{1})$

解题步骤 4.5

用 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ 除以 $1$ 。

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$

解题步骤 4.6

将 $\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$ 重写为 $\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$ 。

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$

解题步骤 4.7

将 $\ln (\sqrt{2} + 1)$ 和 $\ln (\sqrt{2} + 1)$ 相加。

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

小数形式：

$1.76274717 \dots$

微积分学 示例

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