微积分学示例

$\int \frac{1}{1 + 4 x^{2}} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

从 $1 + 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.1

从 $1$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

解题步骤 2.3

从 $4 (\frac{1}{4}) + 4 (x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + x^{2})} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + x^{2}} d x$

解题步骤 4

将 $\frac{1}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 5

$\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

解题步骤 6.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

解题步骤 6.1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (2 \arctan (x \cdot 2) + C)$

解题步骤 6.1.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 x) + C)$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 x) + C)$ 重写为 $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 x) + C$ 。

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 x) + C$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{4} \arctan (2 x) + C$

解题步骤 6.3.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 x) + C$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 x) + C$

解题步骤 6.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 x) + C$

解题步骤 6.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \arctan (2 x) + C$

微积分学 示例

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