微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 1.3

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 1.4.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = x^{\frac{1}{2}}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ，以便 $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x^{\frac{1}{2}}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{\frac{1}{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 2.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 2.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.1.6

化简分子。

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解题步骤 2.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

解题步骤 2.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 2.1.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.1.8

化简。

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解题步骤 2.1.8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = x^{\frac{1}{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$u_{lower} = {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 2.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

约去公因数。

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 2.3.3.2

重写表达式。

$u_{lower} = 0^{1}$

解题步骤 2.3.4

计算指数。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = x^{\frac{1}{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = {(\frac{π^{2}}{4})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

对 $\frac{π^{2}}{4}$ 运用乘积法则。

$u_{upper} = \frac{{(π^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.5.2

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.1

将 ${(π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.5.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.2.1

约去公因数。

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.5.2.1.2.2

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π^{1}}{4^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.5.2.2

化简。

$u_{upper} = \frac{π}{4^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.5.3

化简分母。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u_{upper} = \frac{π}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.5.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 2.5.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.3.1

约去公因数。

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 2.5.3.3.2

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{2^{1}}$

解题步骤 2.5.3.4

计算指数。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin (u) d u$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

解题步骤 4

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$2 (- \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 5

计算 $- \cos (u)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$2 (- 0 + \cos (0))$

解题步骤 6.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 (- 0 + 1)$

解题步骤 6.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 (0 + 1)$

解题步骤 6.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

微积分学 示例

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