微积分学示例

$\int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = x + 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{u - 2}{\sqrt[4]{u}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{4}}$ 。

$\int \frac{u - 2}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

解题步骤 2.2

通过将 $u^{\frac{1}{4}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (u - 2) {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3

将 ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (u - 2) u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 1$ 。

$\int (u - 2) u^{\frac{- 1}{4}} d u$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int (u - 2) u^{- \frac{1}{4}} d u$

解题步骤 3

展开 $(u - 2) u^{- \frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

解题步骤 3.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 - \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

解题步骤 3.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int u^{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\int u^{\frac{4 - 1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

解题步骤 3.6

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\int u^{\frac{3}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{\frac{3}{4}} d u + \int - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{3}{4}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}}$ 。

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C + \int - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

解题步骤 6

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C - 2 \int u^{- \frac{1}{4}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{4}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ 。

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C - 2 (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} - 2 (\frac{4}{3}) u^{\frac{3}{4}} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + \frac{- 2 \cdot 4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

解题步骤 8.2.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + \frac{- 8}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

解题步骤 8.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} - \frac{8}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

解题步骤 9

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4}{7} {(x + 2)}^{\frac{7}{4}} - \frac{8}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{4}} + C$

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