微积分学示例

$(\int x^{2} \ln (x^{2} + 1) d x)$

解题步骤 1

使 $u_{1} = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{u_{1} - 1}$ 。

$\int \frac{\sqrt{u_{1} - 1}}{2} \ln (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{\sqrt{u_{1} - 1}}{2}$ 和 $\ln (u_{1})$ 。

$\int \frac{\sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (u_{1})$ ， $d v = \sqrt{u_{1} - 1}$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (u_{1}) (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (u_{1}) \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 5.2

组合 $\ln (u_{1})$ 和 $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (u_{1}) (2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 5.3

将 $2$ 移到 $\ln (u_{1})$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 5.4

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 5.5

将 $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 乘以 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3 u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6

由于 $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}))$

解题步骤 7

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (\ln (| u_{1} |) + C))$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (\ln (| u_{1} |) + C))$ 重写为 $\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 9

去掉圆括号。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) + C$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) + C$ 重写为 $\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| u_{1} |)}{3}) + C$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| u_{1} |)}{3}) + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

解题步骤 11.2

使用 $u_{1} - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(u_{1} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(u_{1} - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

解题步骤 11.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

合并 $\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

解题步骤 12.1.2

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

解题步骤 12.1.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 0)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

解题步骤 12.1.4

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

解题步骤 12.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

解题步骤 12.3

化简分子。

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解题步骤 12.3.1

化简每一项。

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解题步骤 12.3.1.1

将 ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{2 (\frac{3}{2})} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

解题步骤 12.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{2 (\frac{3}{2})} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

解题步骤 12.3.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

解题步骤 12.3.1.2

将 ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{2 (\frac{3}{2})} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

解题步骤 12.3.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{2 (\frac{3}{2})} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

解题步骤 12.3.1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

解题步骤 12.3.2

将 $2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ 中的因式重新排序。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} \ln (x^{2} + 1) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

解题步骤 12.4

化简分子。

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解题步骤 12.4.1

从 $2 x^{3} \ln (x^{2} + 1) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ 中分解出因数 $2 x^{3}$ 。

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解题步骤 12.4.1.1

从 $2 x^{3} \ln (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $2 x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

解题步骤 12.4.1.2

从 $- 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ 中分解出因数 $2 x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) + 2 x^{3} (- 1 \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

解题步骤 12.4.1.3

从 $2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) + 2 x^{3} (- 1 \ln (| x^{2} + 1 |))$ 中分解出因数 $2 x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1) - 1 \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

解题步骤 12.4.2

将 $- 1 \ln (| x^{2} + 1 |)$ 重写为 $- \ln (| x^{2} + 1 |)$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1) - \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

解题步骤 12.4.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |})}{3} + C$

解题步骤 12.5

合并。

$\frac{1 (2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{2 \cdot 3} + C$

解题步骤 12.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.6.1

约去公因数。

$\frac{1 (2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{2 \cdot 3} + C$

解题步骤 12.6.2

重写表达式。

$\frac{1 (x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{3} + C$

解题步骤 12.7

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |})}{3} + C$

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}) + C$

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