微积分学示例

$\int_{1}^{2} \frac{x - 4}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{2} (x - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{- 2} d x$

解题步骤 3

乘以 $(x - 4) x^{- 2}$ 。

$\int_{1}^{2} x \cdot x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{2} x^{1 - 2} - 4 x^{- 2} d x$

解题步骤 4.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\int_{1}^{2} x^{- 1} - 4 x^{- 2} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{2} x^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

解题步骤 6

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

解题步骤 7

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

代入并化简。

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解题步骤 9.1.1

计算 $\ln (| x |)$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

解题步骤 9.1.2

计算 $- x^{- 1}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 9.1.3

化简。

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解题步骤 9.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

解题步骤 9.1.3.2

一的任意次幂都为一。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1)$

解题步骤 9.1.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

解题步骤 9.1.3.4

在公分母上合并分子。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 \frac{- 1 + 2}{2}$

解题步骤 9.1.3.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (\frac{1}{2})$

解题步骤 9.1.3.6

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4}{2}$

解题步骤 9.1.3.7

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.7.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

解题步骤 9.1.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.3.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

解题步骤 9.1.3.7.2.2

约去公因数。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.1.3.7.2.3

重写表达式。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 2}{1}$

解题步骤 9.1.3.7.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 2$

解题步骤 9.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - 2$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - 2$

解题步骤 9.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{2}{1}) - 2$

解题步骤 9.3.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\ln (2) - 2$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (2) - 2$

小数形式：

$- 1.30685281 \dots$

解题步骤 11

微积分学 示例

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