微积分学示例

$\int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1 - x}} d x$

解题步骤 1

使用根数乘积法则进行合并。

$\int \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x$

解题步骤 2

配方。

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解题步骤 2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.1.1

运用分配律。

$x \cdot 1 + x (- x)$

解题步骤 2.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x + x (- x)$

解题步骤 2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$x - x \cdot x$

解题步骤 2.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

移动 $x$ 。

$x - (x \cdot x)$

解题步骤 2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x - x^{2}$

解题步骤 2.1.5

将 $x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} + x$

解题步骤 2.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

解题步骤 2.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.4.2

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

解题步骤 2.5.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

解题步骤 2.5.2.1.4

乘以 $- - \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

解题步骤 2.5.2.1.4.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 + \frac{1}{4}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $0$ 和 $\frac{1}{4}$ 相加。

$e = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}}} d x$

解题步骤 3

使 $u = x - \frac{1}{2}$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = x - \frac{1}{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x - \frac{1}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x - \frac{1}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 3.1.4

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1}{4}}} d u$

解题步骤 4

使用指数书写表达式。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{4}}} d u$

解题步骤 4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}} d u$

解题步骤 5

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}} d u$

解题步骤 6

将 $- u^{2}$ 和 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 重新排序。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}} d u$

解题步骤 7

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}})$

$\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\arcsin (u \cdot 2) + C$

解题步骤 8.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\arcsin (2 u) + C$

解题步骤 9

使用 $x - \frac{1}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\arcsin (2 x + 2 (- \frac{1}{2})) + C$

解题步骤 10.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

解题步骤 10.2.2

约去公因数。

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

解题步骤 10.2.3

重写表达式。

$\arcsin (2 x - 1) + C$

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