微积分学示例

$\int e^{\cos (π x)} \sin (π x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \cos (π x)$ 。然后使 $d u_{2} = - π \sin (π x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{π} d u_{2} = \sin (π x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \cos (π x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\cos (π x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $π x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 1.1.2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (π x) π$

解题步骤 1.1.3.3.2

重新排序 $- \sin (π x) π$ 的因式。

$- π \sin (π x)$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int - e^{u_{2}} \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\int - e^{u_{2}} \frac{1}{π} d u_{2}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{π}$ 和 $e^{u_{2}}$ 。

$\int - \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{π}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{π}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{π} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 5

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$- \frac{1}{π} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 6

化简。

$- \frac{1}{π} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7

使用 $\cos (π x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{π} e^{\cos (π x)} + C$

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