微积分学示例

$\int_{\frac{6}{π}}^{\frac{2}{3 π}} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{1}{x}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ ，以便 $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{1}{x}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{1}{x}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{- 2}$

解题步骤 1.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \frac{1}{x}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \frac{1}{\frac{6}{π}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$u_{lower} = 1 \frac{π}{6}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \frac{1}{x}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \frac{1}{\frac{2}{3 π}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$u_{upper} = 1 \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (u) d u$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (u) d u$

解题步骤 3

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$- (\sin (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}})$

解题步骤 4

计算 $\sin (u)$ 在 $\frac{3 π}{2}$ 处和在 $\frac{π}{6}$ 处的值。

$- ((\sin (\frac{3 π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 5

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- (\sin (\frac{3 π}{2}) - \frac{1}{2})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- (- \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{2})$

解题步骤 6.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2})$

解题步骤 6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- (- 1 - \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- (- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 6.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- (\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 6.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 6.5

化简分子。

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解题步骤 6.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{- 2 - 1}{2}$

解题步骤 6.5.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{- 3}{2}$

解题步骤 6.6

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{3}{2}$

解题步骤 6.7

乘以 $- - \frac{3}{2}$ 。

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解题步骤 6.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{3}{2})$

解题步骤 6.7.2

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{2}$

小数形式：

$1.5$

带分数形式：

$1 \frac{1}{2}$

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