微积分学示例

$\int \sin^{5} (x) \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 1

因式分解出 $\sin^{4} (x)$ 。

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2

将 ${\sin (x)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 3

使用勾股定理，将 $\sin^{2} (x)$ 重写成 $1 - \cos^{2} (x)$ 的形式。

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 4

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 4.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6

展开 ${(1 - u^{2})}^{2} u^{2}$ 。

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解题步骤 6.1

将 ${(1 - u^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ 。

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) u^{2} d u$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$- \int (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) u^{2} d u$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) u^{2} d u$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

解题步骤 6.5

运用分配律。

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

解题步骤 6.6

运用分配律。

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 (- u^{2}) u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

解题步骤 6.7

运用分配律。

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 (- u^{2}) u^{2} - u^{2} \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) u^{2} d u$

解题步骤 6.8

移动 $u^{2}$ 。

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2}) u^{2} d u$

解题步骤 6.9

移动 $u^{2}$ 。

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.10

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- \int 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.11

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \int u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \int u^{2} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.13

提取负因数。

$- \int u^{2} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \int u^{2} - u^{2 + 2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.15

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- \int u^{2} - u^{4} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.17

提取负因数。

$- \int u^{2} - u^{4} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.19

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.20

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.21

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2 + 2} u^{2} d u$

解题步骤 6.23

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4} u^{2} d u$

解题步骤 6.24

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4 + 2} d u$

解题步骤 6.25

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{6} d u$

解题步骤 6.26

从 $- u^{4}$ 中减去 $u^{4}$ 。

$- \int u^{2} - 2 u^{4} + u^{6} d u$

解题步骤 6.27

将 $- 2 u^{4}$ 和 $u^{6}$ 重新排序。

$- \int u^{2} + u^{6} - 2 u^{4} d u$

解题步骤 6.28

移动 $u^{2}$ 。

$- \int u^{6} - 2 u^{4} + u^{2} d u$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\int u^{6} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{6}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{7} u^{7}$ 。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

解题步骤 9

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{2} d u)$

解题步骤 11

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

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解题步骤 12.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $u^{5}$ 。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 12.1.2

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $u^{7}$ 。

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 12.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{u^{3}}{3} + C)$

解题步骤 12.2

化简。

$- (\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}) + C$

解题步骤 13

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (\frac{\cos^{7} (x)}{7} - \frac{2 \cos^{5} (x)}{5} + \frac{\cos^{3} (x)}{3}) + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$- (\frac{1}{7} \cos^{7} (x) - \frac{2}{5} \cos^{5} (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + C$

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