微积分学示例

$\int_{- \frac{π}{4}}^{0} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 1

使 $u = \sec (x)$ 。然后使 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \sec (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sec (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \sec (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sec (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$u_{lower} = \sec (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 1.3.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$u_{lower} = \sec (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.3.3

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

解题步骤 1.3.4

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 1.3.5

合并和化简分母。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.3.5.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.3.5.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 1.3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.3.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.3.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.6.4.1

约去公因数。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.3.5.6.4.2

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 1.3.5.6.5

计算指数。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.3.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.6.1

约去公因数。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.3.6.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$u_{lower} = \sqrt{2}$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \sec (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sec (0)$

解题步骤 1.5

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

解题步骤 2

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1}$

解题步骤 3

通过约去带根式的指数进行化简。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{1}{2} u^{2}$ 在 $1$ 处和在 $\sqrt{2}$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 3.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{1}$

解题步骤 3.3.5

计算指数。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

化简。

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解题步骤 3.4.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.4.1.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{- 2}{2}$

解题步骤 3.4.1.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

解题步骤 3.4.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.1.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

解题步骤 3.4.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

解题步骤 3.4.1.3.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} - 1$

解题步骤 3.4.2

化简。

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解题步骤 3.4.2.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.4.2.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.4.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.4.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 - 2}{2}$

解题步骤 3.4.2.4.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.4.2.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{2}$

小数形式：

$- 0.5$

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