微积分学示例

$\int \frac{\ln (x + 4)}{x + 4} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = x + 4$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = x + 4$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 2

使 $u_{2} = \ln (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ ，以便 $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = \ln (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\ln (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}}$

解题步骤 2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 3

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 4

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 4.1

使用 $\ln (u_{1})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} \ln^{2} (u_{1}) + C$

解题步骤 4.2

使用 $x + 4$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x + 4) + C$

微积分学 示例

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