微积分学示例

$\int 3 x^{5} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{3} + 1$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{3} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{3} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int {\sqrt[3]{u - 1}}^{3} \sqrt{u} d u$

解题步骤 2

通过约去带根式的指数进行化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt[3]{u - 1}}^{3}$ 重写为 $u - 1$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u - 1}$ 重写成 ${(u - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

约去公因数。

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.1.4.2

重写表达式。

$\int {(u - 1)}^{1} \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.1.5

化简。

$\int (u - 1) \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

展开 $(u - 1) u^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 8

化简。

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 9

使用 $x^{3} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{5} {(x^{3} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

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