微积分学示例

$\int \frac{x^{3}}{x^{4} - 5} d x$ , $u = x^{4} - 5$

解题步骤 1

使 $u = x^{4} - 5$ ，然后 $d u = 4 x^{3} d x$ 。用 $u$ 和 $d u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{4} - 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{4} - 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 5]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{4} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{4 u} d u$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 3

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 4

化简。

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

解题步骤 5

使用 $x^{4} - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} \ln (| x^{4} - 5 |) + C$

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