微积分学示例

$\int_{- 6}^{0} | x^{3} + 27 | d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

根据 $x^{3} + 27$ 在某些位置是正的和负的，来分解积分。

$\int_{- 6}^{- 3} - x^{3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 6}^{- 3} - x^{3} d x + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{- 6}^{- 3} x^{3} d x + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 6}^{- 3}) + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x + \int_{- 3}^{0} 27 d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} + \int_{- 3}^{0} 27 d x$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} + 27 x]_{- 3}^{0}$

解题步骤 11

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$ 和 $27 x]_{- 3}^{0}$ 。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4} + 27 x]_{- 3}^{0}$

解题步骤 11.2

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $- 3$ 处和在 $- 6$ 处的值。

$- ((\frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4} + 27 x]_{- 3}^{0}$

解题步骤 11.2.2

计算 $- 27 x$ 在 $- 3$ 处和在 $- 6$ 处的值。

$- (\frac{{(- 3)}^{4}}{4} - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) + - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + \frac{1}{4} x^{4} + 27 x]_{- 3}^{0}$

解题步骤 11.2.3

计算 $\frac{1}{4} x^{4} + 27 x$ 在 $0$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$- (\frac{{(- 3)}^{4}}{4} - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) + - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.1

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$- (\frac{81}{4} - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.2

对 $- 6$ 进行 $4$ 次方运算。

$- (\frac{81}{4} - \frac{1296}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.3

约去 $1296$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.3.1

从 $1296$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 324}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 324}{4 (1)}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.3.2.2

约去公因数。

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 324}{4 \cdot 1}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.3.2.3

重写表达式。

$- (\frac{81}{4} - \frac{324}{1}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.3.2.4

用 $324$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{81}{4} - 1 \cdot 324) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.4

将 $- 1$ 乘以 $324$ 。

$- (\frac{81}{4} - 324) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.5

要将 $- 324$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- (\frac{81}{4} - 324 \cdot \frac{4}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.6

组合 $- 324$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- (\frac{81}{4} + \frac{- 324 \cdot 4}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.7

在公分母上合并分子。

$- \frac{81 - 324 \cdot 4}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.8

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.8.1

将 $- 324$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{81 - 1296}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.8.2

从 $81$ 中减去 $1296$ 。

$- \frac{- 1215}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.9

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{1215}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1215}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.11

将 $\frac{1215}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1215}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.12

将 $- 27$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{1215}{4} + 81 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.13

将 $27$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{1215}{4} + 81 - 162 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.14

从 $81$ 中减去 $162$ 。

$\frac{1215}{4} - 81 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.15

要将 $- 81$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1215}{4} - 81 \cdot \frac{4}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.16

组合 $- 81$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1215}{4} + \frac{- 81 \cdot 4}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.17

在公分母上合并分子。

$\frac{1215 - 81 \cdot 4}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.18

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.18.1

将 $- 81$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1215 - 324}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.18.2

从 $1215$ 中减去 $324$ 。

$\frac{891}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.19

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{891}{4} + \frac{1}{4} \cdot 0 + 27 \cdot 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.20

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{891}{4} + 0 + 27 \cdot 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.21

将 $27$ 乘以 $0$ 。

$\frac{891}{4} + 0 + 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.22

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.23

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{1}{4} \cdot 81 + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.24

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $81$ 。

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} + 27 \cdot - 3)$

解题步骤 11.2.4.25

将 $27$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} - 81)$

解题步骤 11.2.4.26

要将 $- 81$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} - 81 \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 11.2.4.27

组合 $- 81$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} + \frac{- 81 \cdot 4}{4})$

解题步骤 11.2.4.28

在公分母上合并分子。

$\frac{891}{4} + 0 - \frac{81 - 81 \cdot 4}{4}$

解题步骤 11.2.4.29

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.29.1

将 $- 81$ 乘以 $4$ 。

$\frac{891}{4} + 0 - \frac{81 - 324}{4}$

解题步骤 11.2.4.29.2

从 $81$ 中减去 $324$ 。

$\frac{891}{4} + 0 - \frac{- 243}{4}$

解题步骤 11.2.4.30

将负号移到分数的前面。

$\frac{891}{4} + 0 - - \frac{243}{4}$

解题步骤 11.2.4.31

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{891}{4} + 0 + 1 (\frac{243}{4})$

解题步骤 11.2.4.32

将 $\frac{243}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{891}{4} + 0 + \frac{243}{4}$

解题步骤 11.2.4.33

将 $0$ 和 $\frac{243}{4}$ 相加。

$\frac{891}{4} + \frac{243}{4}$

解题步骤 11.2.4.34

在公分母上合并分子。

$\frac{891 + 243}{4}$

解题步骤 11.2.4.35

将 $891$ 和 $243$ 相加。

$\frac{1134}{4}$

解题步骤 11.2.4.36

约去 $1134$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.36.1

从 $1134$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (567)}{4}$

解题步骤 11.2.4.36.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.36.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 567}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.2.4.36.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 567}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.2.4.36.2.3

重写表达式。

$\frac{567}{2}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{567}{2}$

小数形式：

$283.5$

带分数形式：

$283 \frac{1}{2}$

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例