微积分学示例

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| \sec (u) |)$ 。

$\ln (| \sec (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

计算 $\ln (| \sec (u) |)$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $\frac{π}{6}$ 处的值。

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{6}) |)$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (\frac{π}{6}) |)$

解题步骤 3.2.2

$\sec (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} |)$

解题步骤 3.2.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 3.3.1.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.1.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.1.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.1.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.6.4.1

约去公因数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.1.2.6.4.2

重写表达式。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.1.2.6.5

计算指数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.3.1

约去公因数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.1.3.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ 约为 $1.41421356$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.2

化简分母。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.2.2

合并和化简分母。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.2.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} |})$

解题步骤 3.3.2.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} |})$

解题步骤 3.3.2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} |})$

解题步骤 3.3.2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} |})$

解题步骤 3.3.2.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} |})$

解题步骤 3.3.2.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |})$

解题步骤 3.3.2.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |})$

解题步骤 3.3.2.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.6.4.1

约去公因数。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |})$

解题步骤 3.3.2.2.6.4.2

重写表达式。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} |})$

解题步骤 3.3.2.2.6.5

计算指数。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |})$

解题步骤 3.3.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 约为 $1.15470053$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 3.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (\sqrt{2} \frac{3}{2 \sqrt{3}})$

解题步骤 3.3.4

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2 \sqrt{3}})$

解题步骤 3.3.5

将 $3$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 4.2

合并和化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}})$

解题步骤 4.2.2

移动 $\sqrt{3}$ 。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})})$

解题步骤 4.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})})$

解题步骤 4.2.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})})$

解题步骤 4.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

解题步骤 4.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}})$

解题步骤 4.2.7

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 4.2.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 4.2.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 4.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.7.4.1

约去公因数。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 4.2.7.4.2

重写表达式。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}})$

解题步骤 4.2.7.5

计算指数。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3})$

解题步骤 4.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3})$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$\ln (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4.4

化简分子。

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解题步骤 4.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\ln (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2})$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{6}}{2})$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (\frac{\sqrt{6}}{2})$

小数形式：

$0.20273255 \dots$

微积分学 示例

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