微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \sin (x) d x$

解题步骤 1

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} - u d u$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} u d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} u^{2}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4

计算 $\frac{1}{2} u^{2}$ 在 $\frac{1}{2}$ 处和在 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 处的值。

$- ((\frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 5

通过指数相加将 $\frac{1}{2}$ 乘以 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- ({(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- ({(\frac{1}{2})}^{1 + 2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 5.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

小数形式：

$0.125$

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