微积分学示例

$\int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5} d x$

解题步骤 1

使 $u = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ 。然后使 $d u = (9 x^{2} + 12 x + 3) d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = (3 x^{2} + 4 x + 1) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$9 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$9 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.4.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$9 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.5

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.1.5.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$9 x^{2} + 12 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.5.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$9 x^{2} + 12 x + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.6.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 x^{2} + 12 x + 3 + 0$

解题步骤 1.1.6.2

将 $9 x^{2} + 12 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$9 x^{2} + 12 x + 3$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

解题步骤 2.2

将 $3$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{1}{3 u} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 5

化简。

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

解题步骤 6

使用 $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5 |) + C$

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