微积分学示例

$\int x^{2} {(x + 1)}^{3} d x$

解题步骤 1

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int {(u - 1)}^{2} u^{3} d u$

解题步骤 2

展开 ${(u - 1)}^{2} u^{3}$ 。

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解题步骤 2.1

将 ${(u - 1)}^{2}$ 重写为 $(u - 1) (u - 1)$ 。

$\int (u - 1) (u - 1) u^{3} d u$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

解题步骤 2.4

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

解题步骤 2.5

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

解题步骤 2.6

运用分配律。

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

解题步骤 2.7

运用分配律。

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.8

将 $u$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int u \cdot u \cdot u^{3} - 1 \cdot u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.9

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.10

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 + 1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{2} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{2 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.14

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\int u^{5} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.15

提取负因数。

$\int u^{5} - (u \cdot u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.16

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{5} - (u^{1} u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{5} - u^{1 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.18

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int u^{5} - u^{4} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.19

提取负因数。

$\int u^{5} - u^{4} - (u \cdot u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.20

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{5} - u^{4} - (u^{1} u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{5} - u^{4} - u^{1 + 3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.22

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.23

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{3} d u$

解题步骤 2.24

将 $u^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + u^{3} d u$

解题步骤 2.25

从 $- u^{4}$ 中减去 $u^{4}$ 。

$\int u^{5} - 2 u^{4} + u^{3} d u$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{5}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{6} u^{6}$ 。

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

解题步骤 5

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{3} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{3} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $u^{5}$ 。

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 8.2

化简。

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 9

重新排序项。

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 10

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{6} {(x + 1)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 1)}^{5} + \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$

微积分学 示例

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