微积分学示例

$\int_{0}^{1} {(3 t - 1)}^{50} d t$

解题步骤 1

使 $u = 3 t - 1$ 。然后使 $d u = 3 d t$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 3 t - 1$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 t - 1$ 求导。

$\frac{d}{d t} [3 t - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $3 t - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [3 t]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 3 t - 1$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0 - 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 - 1$

解题步骤 1.3.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 3 t - 1$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 3 \cdot 1 - 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 3 - 1$

解题步骤 1.5.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 1}^{2} u^{50} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{50}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int_{- 1}^{2} \frac{u^{50}}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{2} u^{50} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{50}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{51} u^{51}$ 。

$\frac{1}{3} \frac{1}{51} u^{51}]_{- 1}^{2}$

解题步骤 5

合并分数。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{51} u^{51}$ 在 $2$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{51} \cdot 2^{51}) - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

解题步骤 5.2

对 $2$ 进行 $51$ 次方运算。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{51} \cdot 2251799813685250 - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{1}{51}$ 和 $2251799813685250$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

解题步骤 5.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.1

对 $- 1$ 进行 $51$ 次方运算。

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} - \frac{1}{51} \cdot - 1)$

解题步骤 5.4.2

化简。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} + 1 (\frac{1}{51}))$

解题步骤 5.4.2.2

将 $\frac{1}{51}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} + \frac{1}{51})$

解题步骤 5.4.3

化简。

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解题步骤 5.4.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2251799813685250 + 1}{51}$

解题步骤 5.4.3.2

将 $2251799813685250$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2251799813685251}{51}$

解题步骤 5.4.4

化简。

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解题步骤 5.4.4.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2251799813685251}{51}$ 。

$\frac{2251799813685251}{3 \cdot 51}$

解题步骤 5.4.4.2

将 $3$ 乘以 $51$ 。

$\frac{2251799813685251}{153}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2251799813685251}{153}$

小数形式：

$14717645841080.1$

微积分学 示例

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