微积分学示例

\int cos (ln (x)) d x

$\int \cos (\ln (x)) d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使

u = ln (x)

$u = \ln (x)$ 。然后使

d u = \frac{1}{x} d x

$d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便

x d u = d x

$x d u = d x$ 。使用

u

$u$ 和

d

$d$

u

$u$ 进行重写。

\int e^{u} cos (u) d u

$\int e^{u} \cos (u) d u$

解题步骤 3

将

e^{u}

$e^{u}$ 和

cos (u)

$\cos (u)$ 重新排序。

\int cos (u) e^{u} d u

$\int \cos (u) e^{u} d u$

解题步骤 4

利用公式

\int w d v = w v - \int v d w

$\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中

w = cos (u)

$w = \cos (u)$ ，

dv = e^{u}

$dv = e^{u}$ 。

cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- sin (u)) d u

$\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u$

解题步骤 5

由于

- 1

$- 1$ 对于

u

$u$ 是常数，所以将

- 1

$- 1$ 移到积分外。

cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (sin (u)) d u

$\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (sin (u)) d u

$\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u$

解题步骤 6.2

将

\int e^{u} (sin (u)) d u

$\int e^{u} (\sin (u)) d u$ 乘以

1

$1$ 。

cos (u) e^{u} + \int e^{u} (sin (u)) d u

$\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u$

解题步骤 6.3

将

e^{u}

$e^{u}$ 和

sin (u)

$\sin (u)$ 重新排序。

cos (u) e^{u} + \int sin (u) e^{u} d u

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

cos (u) e^{u} + \int sin (u) e^{u} d u

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

解题步骤 7

利用公式

$\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中

$w = \sin (u)$ ，

$dv = e^{u}$ 。

$\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

解题步骤 8

求解

$\int e^{u} \cos (u) d u$ ，我们发现

$\int e^{u} \cos (u) d u$ =

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2}$ 。

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$

解题步骤 9

将

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$ 重写为

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$ 。

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$

解题步骤 10

使用

$\ln (x)$ 替换所有出现的

$u$ 。

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) e^{\ln (x)} + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

解题步骤 11.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$

微积分学 示例

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