微积分学示例

$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使 $x = 3 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 3 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $3 \cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

对 $3 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.1.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.2

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.3

从 $- 9 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.4

从 $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.6

将 $9 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(3 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

从 $3 \sin (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2.2

对 $3 (\sin (t))$ 运用乘积法则。

$\int \frac{3 \cos (t)}{3^{2} \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{3 \cos (t)}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2.4

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

从 $3 \cos (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 (\cos (t))}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.4.2.1

从 $9 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 (\cos (t))}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2.4.2.2

约去公因数。

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2.4.2.3

重写表达式。

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2.5

组合 $3$ 和 $\frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ 。

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 3.2.6

组合 $\frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ 和 $\cos (t)$ 。

$\int \frac{3 \cos (t) \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 3.2.7

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 3.2.8

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 3.2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{3 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3 \sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 3.2.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 3.2.11

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.11.1

约去公因数。

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 3.2.11.2

重写表达式。

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 3.2.12

将 $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ 转换成 $\cot^{2} (t)$ 。

$\int \cot^{2} (t) d t$

解题步骤 4

使用勾股定理，将 $\cot^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \csc^{2} (t)$ 的形式。

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

解题步骤 7

因为 $- \cot (t)$ 的导数为 $\csc^{2} (t)$ ，所以 $\csc^{2} (t)$ 的积分为 $- \cot (t)$ 。

$- t + C - \cot (t) + C$

解题步骤 8

化简。

$- t - \cot (t) + C$

解题步骤 9

使用 $\arcsin (\frac{x}{3})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \arcsin (\frac{x}{3}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

解题步骤 10

重新排序项。

$- \arcsin (\frac{1}{3} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

微积分学 示例

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