微积分学示例

$\int x^{5} \sqrt{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 1 + x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 1 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int {\sqrt{u_{1} - 1}}^{4} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{u_{1} - 1}}^{4}$ 重写为 ${(u_{1} - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1} - 1}$ 重写成 ${(u_{1} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int {({(u_{1} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{4} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {(u_{1} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 4} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\int {(u_{1} - 1)}^{\frac{4}{2}} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {(u_{1} - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {(u_{1} - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.2

约去公因数。

$\int {(u_{1} - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.3

重写表达式。

$\int {(u_{1} - 1)}^{\frac{2}{1}} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\int {(u_{1} - 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(u_{1} - 1)}^{2}$ 。

$\int \frac{{(u_{1} - 1)}^{2}}{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{{(u_{1} - 1)}^{2}}{2}$ 和 $\sqrt{u_{1}}$ 。

$\int \frac{{(u_{1} - 1)}^{2} \sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int {(u_{1} - 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int {(u_{1} - 1)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 5

使 $u_{2} = u_{1} - 1$ 。然后使 $d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{2} = u_{1} - 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $u_{1} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $u_{1} - 1$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

解题步骤 5.1.4

因为 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} {(u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 6

使 $u_{3} = u_{2} + 1$ 。然后使 $d u_{3} = d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{3} = u_{2} + 1$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $u_{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} + 1]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $u_{2} + 1$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ 。

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 6.1.4

因为 $1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} \int {(u_{3} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 ${(u_{3} - 1)}^{2}$ 重写为 $(u_{3} - 1) (u_{3} - 1)$ 。

$\frac{1}{2} \int (u_{3} - 1) (u_{3} - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int (u_{3} (u_{3} - 1) - 1 (u_{3} - 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1 - 1 (u_{3} - 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1 - 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.5

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.6

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.7

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.8

将 $u_{3}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.9

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.10

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.14

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.15

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.16

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.17

化简分子。

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解题步骤 7.17.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.17.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.18

提取负因数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.19

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.21

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.22

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.23

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.24

提取负因数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.25

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.26

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.27

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.28

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.29

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.30

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.31

将 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.32

从 $- {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 中减去 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7.33

将 $- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 重新排序。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 9

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 10

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 11

由于 $- 2$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 12

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C))$

解题步骤 13

化简。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 15

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 15.1

使用 $u_{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{7} {(u_{2} + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(u_{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 15.2

使用 $u_{1} - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{7} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 15.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{7} {(1 + x^{2} - 1 + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(1 + x^{2} - 1 + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(1 + x^{2} - 1 + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

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