微积分学示例

$\int [x^{2} + \frac{1}{{(3 x)}^{2}}] d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

去掉圆括号。

$\int x^{2} + \frac{1}{{(3 x)}^{2}} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int x^{2} + \frac{1}{{(3 (x))}^{2}} d x$

解题步骤 3.2

对 $3 (x)$ 运用乘积法则。

$\int x^{2} + \frac{1}{3^{2} x^{2}} d x$

解题步骤 3.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int x^{2} + \frac{1}{9 x^{2}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int \frac{1}{9 x^{2}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{1}{9 x^{2}} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 7

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} \int x^{- 2} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} (- x^{- 1} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{9} (- x^{- 1}) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{x^{- 1}}{9} + C$

解题步骤 9.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 1}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{9 x} + C$

微积分学 示例

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