微积分学示例

$\int_{0}^{7} \sqrt{4 + 3 x} d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 + 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 + 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 + 3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 + 3 x]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $4 + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 3 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$0 + 3$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$3$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 4 + 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 + 3 \cdot 0$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 4 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 4$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 4 + 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 + 3 \cdot 7$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$u_{upper} = 4 + 21$

解题步骤 1.5.2

将 $4$ 和 $21$ 相加。

$u_{upper} = 25$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 25$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{4}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int_{4}^{25} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} \sqrt{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{25}$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $25$ 处和在 $4$ 处的值。

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.4

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $125$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.3.2

将 $2$ 乘以 $125$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 6.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 6.4.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

解题步骤 6.4.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8)$

解题步骤 6.5

化简。

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解题步骤 6.5.1

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - 8 (\frac{2}{3}))$

解题步骤 6.5.2

组合 $- 8$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

解题步骤 6.5.3

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 16}{3})$

解题步骤 6.5.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{16}{3})$

解题步骤 6.6

化简。

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解题步骤 6.6.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{250 - 16}{3}$

解题步骤 6.6.2

从 $250$ 中减去 $16$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{234}{3}$

解题步骤 6.6.3

约去 $234$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.3.1

从 $234$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3}$

解题步骤 6.6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.6.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 (1)}$

解题步骤 6.6.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{78}{1}$

解题步骤 6.6.3.2.4

用 $78$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 78$

解题步骤 6.7

化简。

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解题步骤 6.7.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $78$ 。

$\frac{78}{3}$

解题步骤 6.7.2

约去 $78$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.2.1

从 $78$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 26}{3}$

解题步骤 6.7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.7.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 26}{3 (1)}$

解题步骤 6.7.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 26}{3 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.2.2.3

重写表达式。

$\frac{26}{1}$

解题步骤 6.7.2.2.4

用 $26$ 除以 $1$ 。

$26$

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