微积分学示例

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使 $x = \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t)}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.2

约去 $\sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $\sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) (\tan (t))) d t$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$\int \tan (t) \tan (t) d t$

解题步骤 4

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) d t$

解题步骤 5

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) d t$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 8

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 11

因为 $\tan (t)$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 的积分为 $\tan (t)$ 。

$- t + C + \tan (t) + C$

解题步骤 12

化简。

$- t + \tan (t) + C$

解题步骤 13

使用 $arcsec (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- arcsec (x) + \tan (arcsec (x)) + C$

微积分学 示例

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