微积分学示例

$\int z^{7} (10 z^{8} - 4) d z$

解题步骤 1

使 $u = z^{2}$ 。然后使 $d u = 2 z d z$ ，以便 $\frac{1}{2 z} d u = d z$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = z^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d z}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $z^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d z} [z^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 z$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int {\sqrt{u}}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{u}}^{6}$ 重写为 $u^{3}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot 6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$\int u^{\frac{6}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

解题步骤 2.1.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

解题步骤 2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

解题步骤 2.1.4.2.2

约去公因数。

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

解题步骤 2.1.4.2.3

重写表达式。

$\int u^{\frac{3}{1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

解题步骤 2.1.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\int u^{3} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

解题步骤 2.2

将 ${\sqrt{u}}^{8}$ 重写为 $u^{4}$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int u^{3} (5 {(u^{\frac{1}{2}})}^{8} - 2) d u$

解题步骤 2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{3} (5 u^{\frac{1}{2} \cdot 8} - 2) d u$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $8$ 。

$\int u^{3} (5 u^{\frac{8}{2}} - 2) d u$

解题步骤 2.2.4

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - 2) d u$

解题步骤 2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - 2) d u$

解题步骤 2.2.4.2.2

约去公因数。

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - 2) d u$

解题步骤 2.2.4.2.3

重写表达式。

$\int u^{3} (5 u^{\frac{4}{1}} - 2) d u$

解题步骤 2.2.4.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\int u^{3} (5 u^{4} - 2) d u$

解题步骤 3

展开 $u^{3} (5 u^{4} - 2)$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int u^{3} (5 u^{4}) + u^{3} \cdot - 2 d u$

解题步骤 3.2

将 $u^{3}$ 和 $5$ 重新排序。

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} + u^{3} \cdot - 2 d u$

解题步骤 3.3

将 $u^{3}$ 和 $- 2$ 重新排序。

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} - 2 \cdot u^{3} d u$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 5 u^{3 + 4} - 2 u^{3} d u$

解题步骤 3.5

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$\int 5 u^{7} - 2 u^{3} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5 u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

解题步骤 5

由于 $5$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{7}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{8} u^{8}$ 。

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) + \int - 2 u^{3} d u$

解题步骤 7

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 \int u^{3} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

解题步骤 9.2

将 $5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ 重写为 $\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ 。

$\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 2}{4} u^{4} + C$

解题步骤 9.3.2

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 (- 1)}{4} u^{4} + C$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

解题步骤 9.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

解题步骤 9.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 1}{2} u^{4} + C$

解题步骤 9.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{8} u^{8} - \frac{1}{2} u^{4} + C$

解题步骤 10

使用 $z^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5}{8} {(z^{2})}^{8} - \frac{1}{2} {(z^{2})}^{4} + C$

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