微积分学示例

$\int \ln (\sqrt{x}) d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \ln (x^{\frac{1}{2}}) d x$

解题步骤 3

将 $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 。

$\int \frac{1}{2} \ln (x) d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \ln (x) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

解题步骤 6.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int d x)$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - (x + C))$

解题步骤 8

化简。

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - x) + C$

微积分学 示例