微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (θ)}{\sqrt{1 + \sin (θ)}} d θ$

解题步骤 1

使 $u = 1 + \sin (θ)$ 。然后使 $d u = \cos (θ) d θ$ ，以便 $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + \sin (θ)$ 。求 $\frac{d u}{d θ}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + \sin (θ)$ 求导。

$\frac{d}{d θ} [1 + \sin (θ)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + \sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ 。

$\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $1$ 对 $θ$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

解题步骤 1.1.3

$\sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\cos (θ)$ 。

$0 + \cos (θ)$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $\cos (θ)$ 相加。

$\cos (θ)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + \sin (θ)$ 中的 $θ$ 。

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + \sin (θ)$ 中的 $θ$ 。

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

解题步骤 4

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.3

在公分母上合并分子。

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6

一的任意次幂都为一。

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

解题步骤 7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

小数形式：

$0.82842712 \dots$

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