微积分学示例

$\int \frac{x + 3}{{(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 3 x - 4$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 3 x - 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 x - 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x - 4]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $3 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + 3}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.2

组合 $3$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4 + 3 \cdot 3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.4

化简分子。

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解题步骤 2.4.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4 + 9}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.4.2

将 $4$ 和 $9$ 相加。

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.5

将 $\frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\int \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.6

合并。

$\int \frac{3 (\frac{u}{3} + \frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.7

运用分配律。

$\int \frac{3 \frac{u}{3} + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.1

约去公因数。

$\int \frac{3 \frac{u}{3} + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.8.2

重写表达式。

$\int \frac{u + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.1

约去公因数。

$\int \frac{u + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.9.2

重写表达式。

$\int \frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.10

将 $\frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}} \cdot 3} d u$

解题步骤 2.11

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{u + 13}{9 u^{\frac{3}{2}}} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} \int \frac{u + 13}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $u^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{9} \int (u + 13) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.2

将 ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.2.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

解题步骤 4.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

解题步骤 4.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{- \frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5

展开 $(u + 13) u^{- \frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{1}{9} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{9} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{9} \int u^{1 - \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.6

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{- 1}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.7

将 $u^{\frac{- 1}{2}}$ 和 $13 u^{- \frac{3}{2}}$ 重新排序。

$\frac{1}{9} \int 13 u^{- \frac{3}{2}} + u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{9} \int 13 u^{- \frac{3}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{9} (\int 13 u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 8

由于 $13$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $13$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} (13 \int u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{- \frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{9} (13 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{9} (13 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 11

化简。

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{u^{\frac{1}{2}}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 12

使用 $3 x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

要将 $2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 13.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.3

化简分子。

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解题步骤 13.3.1

通过指数相加将 ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 13.3.1.1

移动 ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 ({(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.3.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.3.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.3.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{1}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.3.2

化简 $2 {(3 x - 4)}^{1}$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 (3 x - 4)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.3.3

运用分配律。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 4}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.3.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 6 x + 2 \cdot - 4}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.3.5

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 6 x - 8}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.3.6

从 $- 26$ 中减去 $8$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{6 x - 34}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.3.7

从 $6 x - 34$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 13.3.7.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x) - 34}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.3.7.2

从 $- 34$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x) + 2 (- 17)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.3.7.3

从 $2 (3 x) + 2 (- 17)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x - 17)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.4

合并。

$\frac{1 (2 (3 x - 17))}{9 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (3 x - 17)}{9 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

微积分学 示例

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