微积分学示例

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 x$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (7 \frac{u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2

组合 $7$ 和 $\frac{u}{4}$ 。

$\int (\frac{7 u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \frac{7 u}{4} + e^{u} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (\int \frac{7 u}{4} d u + \int e^{u} d u)$

解题步骤 5

由于 $\frac{7}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{7}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} \int u d u + \int e^{u} d u)$

解题步骤 6

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int e^{u} d u)$

解题步骤 7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + e^{u} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$\frac{1}{4} (\frac{7 u^{2}}{8} + e^{u}) + C$

解题步骤 8.2

重新排序项。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} u^{2} + e^{u}) + C$

解题步骤 9

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} {(4 x)}^{2} + e^{4 x}) + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (4^{2} x^{2}) + e^{4 x}) + C$

解题步骤 10.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (16 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

解题步骤 10.1.3

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.3.1

从 $16 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

解题步骤 10.1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

解题步骤 10.1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} (7 (2 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

解题步骤 10.1.4

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{4} (14 x^{2} + e^{4 x}) + C$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$\frac{1}{4} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

解题步骤 10.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

解题步骤 10.3.2

从 $14 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

解题步骤 10.3.3

约去公因数。

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

解题步骤 10.3.4

重写表达式。

$\frac{1}{2} (7 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

解题步骤 10.4

组合 $7$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

解题步骤 10.5

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

解题步骤 10.6

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

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