微积分学示例

$\int \frac{2 x^{3} - 2}{(x^{4} - 4 x)} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $2 x^{3} - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{3}) - 2}{x^{4} - 4 x}$

解题步骤 1.1.1.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (- 1)}{x^{4} - 4 x}$

解题步骤 1.1.1.1.3

从 $2 (x^{3}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{3} - 1)}{x^{4} - 4 x}$

解题步骤 1.1.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{2 (x^{3} - 1^{3})}{x^{4} - 4 x}$

解题步骤 1.1.1.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

解题步骤 1.1.1.4

因数。

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解题步骤 1.1.1.4.1

化简。

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解题步骤 1.1.1.4.1.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

解题步骤 1.1.1.4.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{4} - 4 x}$

解题步骤 1.1.1.4.2

去掉多余的括号。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{4} - 4 x}$

解题步骤 1.1.1.5

从 $x^{4} - 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} - 4 x}$

解题步骤 1.1.1.5.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} + x \cdot - 4}$

解题步骤 1.1.1.5.3

从 $x \cdot x^{3} + x \cdot - 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x^{3} - 4)}$

解题步骤 1.1.2

对分母中的每一个因式，使用该因式作为分母和未知值作为分子建立一个新的分式。因为该因式是三阶，所以分子中必须有 $3$ 项。分子中必须的项数恒等于分母中分式的阶数。

$\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x^{3} - 4)$ 。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.4

化简项。

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解题步骤 1.1.4.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.4.1.2

重写表达式。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.4.2

约去 $x^{3} - 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1

约去公因数。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.4.2.2

用 $2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ 除以 $1$ 。

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.4.3

运用分配律。

$(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.4.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(2 x - 2) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x - 2) (x^{2} + x + 1)$ 。

$2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.6

化简项。

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解题步骤 1.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.6.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.6.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.6.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.6.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.6.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.1.2.1

移动 $x$ 。

$2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.6.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.6.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.6.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.6.2

合并 $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.6.2.1

从 $2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{3} + 2 x + 0 - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.6.2.2

将 $2 x^{3} + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x^{3} + 2 x - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.6.2.3

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$2 x^{3} + 0 - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.6.2.4

将 $2 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.1.1

约去公因数。

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.7.1.2

用 $A (x^{3} - 4)$ 除以 $1$ 。

$2 x^{3} - 2 = A (x^{3} - 4) + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.7.2

运用分配律。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + A \cdot - 4 + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.7.3

将 $- 4$ 移到 $A$ 的左侧。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 \cdot A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.7.4

约去 $x^{3} - 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.4.1

约去公因数。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.1.7.4.2

用 $(B x^{2} + C x + D) (x)$ 除以 $1$ 。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + (B x^{2} + C x + D) (x)$

解题步骤 1.1.7.5

运用分配律。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{2} x + C x \cdot x + D x$

解题步骤 1.1.7.6

化简。

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解题步骤 1.1.7.6.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.7.6.1.1

移动 $x$ 。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

解题步骤 1.1.7.6.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.7.6.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

解题步骤 1.1.7.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{1 + 2} + C x \cdot x + D x$

解题步骤 1.1.7.6.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x \cdot x + D x$

解题步骤 1.1.7.6.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.7.6.2.1

移动 $x$ 。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C (x \cdot x) + D x$

解题步骤 1.1.7.6.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x^{2} + D x$

解题步骤 1.1.8

移动 $- 4 A$ 。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + B x^{3} + C x^{2} + D x - 4 A$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x^{3}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$2 = A + B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

解题步骤 1.2.3

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = D$

解题步骤 1.2.4

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 2 = - 4 A$

解题步骤 1.2.5

建立方程组以求部分分式的系数。

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$2 = A + B$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将方程重写为 $D = 0$ 。

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$- 2 = - 4 A$

解题步骤 1.3.2.2

将方程重写为 $- 4 A = - 2$ 。

$- 4 A = - 2$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.2.3

将 $- 4 A = - 2$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 1.3.2.3.1

将 $- 4 A = - 2$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.2.3.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.2.3.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.3.3.1

约去 $- 2$ 和 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.3.3.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.2.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.3.3.1.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.3

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $\frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\frac{1}{2}$ 替换 $2 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$2 = (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

解题步骤 1.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

去掉圆括号。

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4

在 $2 = \frac{1}{2} + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

将方程重写为 $\frac{1}{2} + B = 2$ 。

$\frac{1}{2} + B = 2$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{2}$ 。

$B = 2 - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$B = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$B = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4.2.4

在公分母上合并分子。

$B = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.3.4.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$B = \frac{4 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4.2.5.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

解题步骤 1.3.5

求解方程组。

$B = \frac{3}{2} A = \frac{1}{2} D = 0 C = 0$

解题步骤 1.3.6

列出所有解。

$B = \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}, D = 0, C = 0$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的值。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2 x^{2}} + 0 x + 0}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.5.1.2

从 $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.5.1.2.1

从 $\frac{3}{2} x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.5.1.2.2

从 $0 \cdot x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.5.1.2.3

从 $x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x + 0)}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.5.1.3

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2} + 0)}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.5.1.4

将 $\frac{3 x}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2})}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.5.2

组合 $x$ 和 $\frac{3 x}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{x (3 x)}{2}}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.5.3

化简分子。

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解题步骤 1.5.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.5.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.5.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{1 + 1}}{2}}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.5.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.5.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x^{3} - 4}$

解题步骤 1.5.5

将 $\frac{3 x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{3} - 4}$ 。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

解题步骤 1.5.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

解题步骤 1.5.7

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\int \frac{1}{2 x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 4} d x$

解题步骤 6

使 $u = x^{3} - 4$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = x^{3} - 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x^{3} - 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 4]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x^{3} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 6.1.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

解题步骤 7.2

将 $3$ 移到 $u$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u} d u$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{6} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9.3

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 10

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 11

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

解题步骤 12

使用 $x^{3} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{3} - 4 |) + C$

微积分学 示例

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