微积分学示例

$\int (x + 2) \sqrt{x - 2} d x$

解题步骤 1

使 $u = x - 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x - 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (u + 2 + 2) \sqrt{u} d u$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int (u + 4) \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int (u + 4) u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

展开 $(u + 4) u^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{\frac{3}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.7

将 $u^{\frac{3}{2}}$ 和 $4 u^{\frac{1}{2}}$ 重新排序。

$\int 4 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $u^{\frac{3}{2}}$ 。

$4 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 8.2

化简。

$\frac{8 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{8}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 9

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 2)}^{\frac{5}{2}} + C$

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