微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$5 \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$5 \int_{0}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

$5 \int_{0}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x)]_{0}^{1}$ 。

$5 (\arctan (x)]_{0}^{1})$

解题步骤 5

计算 $\arctan (x)$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$5 (\arctan (1) - \arctan (0))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$5 (\frac{π}{4} - \arctan (0))$

解题步骤 6.1.2

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$5 (\frac{π}{4} - 0)$

解题步骤 6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$5 (\frac{π}{4} + 0)$

$5 (\frac{π}{4} + 0)$

解题步骤 6.2

将 $\frac{π}{4}$ 和 $0$ 相加。

$5 \frac{π}{4}$

解题步骤 6.3

组合 $5$ 和 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5 π}{4}$

小数形式：

$3.92699081 \dots$

解题步骤 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$