微积分学示例

$\int_{1}^{3} (x^{3} - 4 x) d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

去掉圆括号。

$\int_{1}^{3} x^{3} - 4 x d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 4 x d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 4 x d x$

解题步骤 5

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} - 4 \int_{1}^{3} x d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{1}{4} x^{4}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $81$ 。

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{81 - 1}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.6

从 $81$ 中减去 $1$ 。

$\frac{80}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7

约去 $80$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.7.1

从 $80$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 20}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 20}{4 (1)} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7.2.3

重写表达式。

$\frac{20}{1} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7.2.4

用 $20$ 除以 $1$ 。

$20 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$20 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.9

一的任意次幂都为一。

$20 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 7.2.3.10

在公分母上合并分子。

$20 - 4 \frac{9 - 1}{2}$

解题步骤 7.2.3.11

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$20 - 4 (\frac{8}{2})$

解题步骤 7.2.3.12

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.12.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$20 - 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

解题步骤 7.2.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.12.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$20 - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

解题步骤 7.2.3.12.2.2

约去公因数。

$20 - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.12.2.3

重写表达式。

$20 - 4 (\frac{4}{1})$

解题步骤 7.2.3.12.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$20 - 4 \cdot 4$

解题步骤 7.2.3.13

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$20 - 16$

解题步骤 7.2.3.14

从 $20$ 中减去 $16$ 。

$4$

解题步骤 8

微积分学 示例

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