微积分学示例

$\int \frac{x^{3}}{5 - \frac{1}{2} x^{4}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 5 - \frac{1}{2} x^{4}$ 。然后使 $d u = - 2 x^{3} d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = x^{3} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 5 - \frac{1}{2} x^{4}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $5 - \frac{1}{2} x^{4}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 - \frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $5 - \frac{1}{2} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$0 - \frac{1}{2} (4 x^{3})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 4 (\frac{1}{2}) x^{3}$

解题步骤 1.1.3.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$0 + \frac{- 4}{2} x^{3}$

解题步骤 1.1.3.5

组合 $\frac{- 4}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$0 + \frac{- 4 x^{3}}{2}$

解题步骤 1.1.3.6

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.6.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2}$

解题步骤 1.1.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)}$

解题步骤 1.1.3.6.2.2

约去公因数。

$0 + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.6.2.3

重写表达式。

$0 + \frac{- 2 x^{3}}{1}$

解题步骤 1.1.3.6.2.4

用 $- 2 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$0 - 2 x^{3}$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$- 2 x^{3}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 2.3

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int - \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 6

化简。

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

解题步骤 7

使用 $5 - \frac{1}{2} x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} \ln (| 5 - \frac{1}{2} x^{4} |) + C$

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