微积分学示例

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ 重写为 $u - 1$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u - 1}$ 重写成 ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

约去公因数。

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.4.2

重写表达式。

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.5

化简。

$\int \frac{u - 1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{u - 1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{u - 1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 2.3

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{u - 1}{2 u} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u$

解题步骤 4

用 $u - 1$ 除以 $u$ 。

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解题步骤 4.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$u$

$0$

$u$

$1$

解题步骤 4.2

将被除数中的最高阶项 $u$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

解题步骤 4.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

解题步骤 4.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $u + 0$ 中的所有符号

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

解题步骤 4.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

解题步骤 4.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (u + C + \int - \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (u + C - \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} (u + C - (\ln (| u |) + C))$

解题步骤 9

化简。

$\frac{1}{2} (u - \ln (| u |)) + C$

解题步骤 10

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (x^{2} + 1 - \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

解题步骤 11.2.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

解题步骤 11.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| x^{2} + 1 |)$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

解题步骤 11.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$\frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)) + \frac{1}{2} + C$

微积分学 示例

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