微积分学示例

$\int 5 x \sqrt{2 x + 3} d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x + 3$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 x + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int 5 (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

化简。

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解题步骤 2.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $5$ 。

$\int \frac{5}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.1.2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot 5}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) d u$

解题步骤 2.1.3

将 $5$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$\int \frac{5 \sqrt{u}}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) d u$

解题步骤 2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{3}{2}) d u$

解题步骤 3.2

将 $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

解题步骤 3.3

将 $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{u}{2}$ 。

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}} u}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

解题步骤 3.4

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{5 (u^{\frac{1}{2}} u^{1})}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

解题步骤 3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2} + 1}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

解题步骤 3.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

解题步骤 3.7

在公分母上合并分子。

$\int \frac{5 u^{\frac{1 + 2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

解题步骤 3.8

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

解题步骤 3.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

解题步骤 3.10

组合 $- 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 3}{2} d u$

解题步骤 3.11

组合 $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $3$ 。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2}}{2} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- 1 \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}}{2} d u$

解题步骤 4.2

将 $- 1 \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 重写为 $- \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}}{2} d u$

解题步骤 4.3

将 $\frac{- \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}}{2}$ 重写为乘积形式。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 4.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} d u$

解题步骤 4.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{5}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{5}{4}$ 移到积分外。

$\frac{5}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

解题步骤 9

由于 $\frac{15}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{15}{4}$ 移到积分外。

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{15}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{15}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.2

将 $\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 重写为 $\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{15}{4}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 15}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.3.2

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{30}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{30}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.3.4

约去 $30$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.4.1

从 $30$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6 (5)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.4.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{5}{2} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 12

使用 $2 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5}{2} {(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

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