微积分学示例

$\frac{2}{3} \int \sqrt{4 - \frac{3}{5} x} d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 - \frac{3}{5} x$ 。然后使 $d u = - \frac{3}{5} d x$ ，以便 $- \frac{5}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 - \frac{3}{5} x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 - \frac{3}{5} x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 - \frac{3}{5} x]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $4 - \frac{3}{5} x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- \frac{3}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{5} x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - \frac{3}{5} \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - \frac{3}{5}$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $\frac{3}{5}$ 。

$- \frac{3}{5}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{- 1}{- \frac{3}{5}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{1}{\frac{3}{5}} d u$

解题步骤 2.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{3}{5}$ 。

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} (1 (\frac{5}{3})) d u$

解题步骤 2.3

将 $\frac{5}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{5}{3} d u$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $\sqrt{u}$ 。

$\frac{2}{3} \int - \frac{5 \sqrt{u}}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} (- \int \frac{5 \sqrt{u}}{3} d u)$

解题步骤 4

由于 $\frac{5}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{5}{3}$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} (- (\frac{5}{3} \int \sqrt{u} d u))$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{5}{3}$ 。

$- \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.1.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{10}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{10}{9} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{10}{9} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$- \frac{10}{9} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- \frac{10}{9} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7.2

将 $- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 重写为 $- \frac{20}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$- \frac{20}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8

使用 $4 - \frac{3}{5} x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{20}{27} {(4 - \frac{3}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$

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