微积分学示例

\int e^{- x} tan (e^{- x}) d x

$\int e^{- x} \tan (e^{- x}) d x$

解题步骤 1

使

u_{1} = - x

$u_{1} = - x$ 。然后使

d u_{1} = - d x

$d u_{1} = - d x$ ，以便

- d u_{1} = d x

$- d u_{1} = d x$ 。使用

u_{1}

$u_{1}$ 和

d

$d$

u_{1}

$u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设

u_{1} = - x

$u_{1} = - x$ 。求

\frac{d u_{1}}{d x}

$\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对

- x

$- x$ 求导。

\frac{d}{d x} [- x]

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2

因为

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- x

$- x$ 对

x

$x$ 的导数是

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ 。

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

- 1 \cdot 1

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

解题步骤 1.2

使用

u_{1}

$u_{1}$ 和

d u_{1}

$d u_{1}$ 重写该问题。

\int - e_{1}^{u_{1}} tan (e_{1}^{u_{1}}) d u_{1}

$\int - e^{u_{1}} \tan (e^{u_{1}}) d u_{1}$

\int - e_{1}^{u_{1}} tan (e_{1}^{u_{1}}) d u_{1}

$\int - e^{u_{1}} \tan (e^{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 2

由于

- 1

$- 1$ 对于

u_{1}

$u_{1}$ 是常数，所以将

- 1

$- 1$ 移到积分外。

- \int e_{1}^{u_{1}} tan (e_{1}^{u_{1}}) d u_{1}

$- \int e^{u_{1}} \tan (e^{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3

使

u_{2} = e_{1}^{u_{1}}

$u_{2} = e^{u_{1}}$ 。然后使

d u_{2} = e_{1}^{u_{1}} d u_{1}

$d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ ，以便

\frac{1}{e_{1}^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}

$\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用

u_{2}

$u_{2}$ 和

d

$d$

u_{2}

$u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设

u_{2} = e_{1}^{u_{1}}

$u_{2} = e^{u_{1}}$ 。求

\frac{d u_{2}}{d u_{1}}

$\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对

e_{1}^{u_{1}}

$e^{u_{1}}$ 求导。

\frac{d}{d u_{1}} [e_{1}^{u_{1}}]

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

解题步骤 3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d u_{1}} [a_{1}^{u_{1}}]

$\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于

a_{1}^{u_{1}} ln (a)

$a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中

a

$a$ =

e

$e$ 。

e_{1}^{u_{1}}

$e^{u_{1}}$

e_{1}^{u_{1}}

$e^{u_{1}}$

解题步骤 3.2

使用

u_{2}

$u_{2}$ 和

d u_{2}

$d u_{2}$ 重写该问题。

- \int tan (u_{2}) d u_{2}

$- \int \tan (u_{2}) d u_{2}$

- \int tan (u_{2}) d u_{2}

$- \int \tan (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 4

tan (u_{2})

$\tan (u_{2})$ 对

u_{2}

$u_{2}$ 的积分为

ln (| sec (u_{2}) |)

$\ln (| \sec (u_{2}) |)$ 。

- (ln (| sec (u_{2}) |) + C)

$- (\ln (| \sec (u_{2}) |) + C)$

解题步骤 5

化简。

- ln (| sec (u_{2}) |) + C

$- \ln (| \sec (u_{2}) |) + C$

解题步骤 6

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 6.1

使用

e_{1}^{u_{1}}

$e^{u_{1}}$ 替换所有出现的

u_{2}

$u_{2}$ 。

- ln (| sec (e_{1}^{u_{1}}) |) + C

$- \ln (| \sec (e^{u_{1}}) |) + C$

解题步骤 6.2

使用

- x

$- x$ 替换所有出现的

u_{1}

$u_{1}$ 。

- ln (∣ ∣ sec (e^{- x}) ∣ ∣) + C

$- \ln (| \sec (e^{- x}) |) + C$

- ln (∣ ∣ sec (e^{- x}) ∣ ∣) + C

$- \ln (| \sec (e^{- x}) |) + C$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x^{2} & \frac{1}{2} \sqrt{π} & \int x d x \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$