微积分学示例

$\int x^{4} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int {\sqrt{u}}^{3} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{u}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{u^{3}}$ 。

$\int \sqrt{u^{3}} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.2

组合 $\sqrt{u^{3}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{u^{3}}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u^{3}} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u^{3}}$ 重写成 $u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ 重写为 $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 7

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{5} {(x^{2})}^{\frac{5}{2}} + C$

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